Number theory

Teorija brojeva grana je matematike koja se ponajprije bavi proučavanjem svojstava prirodnih brojeva kao što su djeljivost, rastav na proste faktore ili rješivost jednadžbi u prirodnim brojevima. Ona ima vrlo dugu i bogatu povijest, a važan su joj doprinos dali i neki od najvažnijih matematičara u povijesti poput Euklida, Eulera i Gaussa. Tijekom te duge povijesti teorija brojeva često se smatrala "najčišćom" granom matematike, u smislu da je bila najdalja od bilo kakvih konkretnih primjena. Međutim, sredinom 70-ih godina 20. stoljeća nastupa bitna promjena, tako da je danas teorija brojeva jedna od najvažnijih grana matematike za primjene u kriptografiji i sigurnoj razmjeni informacija.

Ova je knjiga nastala na osnovi nastavnih materijala iz kolegija Teorija brojeva i Elementarna teorija brojeva, koji se predaju na preddiplomskim studijima na Matematičkom odsjeku Prirodoslovno-matematičkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu, te kolegija Diofantske jednadžbe i Diofantske aproksimacije i primjene, koji su se predavali na doktorskom studiju matematike na istom fakultetu. Knjiga potpuno pokriva sadržaj navedenih kolegija, ali sadržava i druge povezane teme poput eliptičkih krivulja kojima su posvećena zadnja dva poglavlja u knjizi. U knjizi su obrađene i neke teme koje su bile i jesu u središtu istraživačkog interesa autora knjige i ostalih članova hrvatske grupe iz teorije brojeva okupljene oko Seminara za teoriju brojeva i algebru.

Knjiga je ponajprije namijenjena studentima matematike i srodnih fakulteta na hrvatskim sveučilištima koji slušaju kolegije iz teorije brojeva i njezinih primjena, potom naprednim srednjoškolcima koji se pripremaju za matematička natjecanja u kojima na svim razinama, od školske do međunarodne, teorija brojeva uvijek zauzima važno mjesto, te doktorskim studentima i znanstvenicima koji se bave teorijom brojeva, algebrom i kriptografijom.


„Number theory“ is a branch of mathematics that is primarily focused on the study of positive integers and their properties. Thus it has often been considered as the "purest" branch of mathematics in the sense that it was the furthest from any specific application. However, nowadays number theory is considered to be one of the most important branches of mathematics for application in cryptography.
This book is based on teaching materials from an undergraduate course Elementary Number Theory and graduate courses Diophantine equations and Diophantine Approximations and Application. The book also provides an insight into subjects that are at the centre of research interest of the author of the book as well as other members of the Croatian number theory research group.
This book is primarily intended for undergraduate students who attend courses in number theory and its application. Also, it can be useful for advanced high school students who are preparing for competition in mathematics in which at all levels, from the school level competition to the international competition number theory has a significant role. In addition, it is intended for graduate students and researchers in the fields of number theory, algebra and cryptography.

Andrej Dujella is a professor of mathematics at the University of Zagreb, Fellow of the Croatian Academy of Sciences and Arts and Doctor Honoris Causa of University of Debrecen. His research interests include Diophantine equations, elliptic curves, polynomial root separation, and applications of Diophantine approximation to cryptography.

Translated by Petra Švob.